Образовни стандард

Кључне речи

Дефиниције кључних појмова

Број

Број је један од основних појмова математике. У свакодневној комуникацији је број појам интуитивно познат, док математичари радије примењују неки од формализама за представљање и описивање овог појма. У том смислу се примењује теорија скупова, а број служи да опише особину мноштва скупа.

Број је појам помоћу којег прецизно исказујемо количине.

Врсте бројева

Врсте бројева су:

1. природни {1,2,3,...}
2. цели {0,1,-1,2,-2,...}
3. рационални = цијели + разломци
4. ирационални (они које не можемо представити у облику разломака)
5. реални = рационални + ирационални
6. комплексни = реални + имагинарни

Уз појам броја уско су везани појмови бројног система и бројака (знаменака).
Данас се у писаној људској комуникацији углавном користе арапски бројеви, а осим њих понегде се нађу (нпр. на крају филмова за означавање године производње) римски бројеви.

Природни број

Природни бројеви су сви цели бројеви већи од нуле. тј. ту спада било који број природног низа.

Низ природних бројева је 1, 2, 3, .... Сви чланови низа природних бројева чине скуп природних бројева. Тај скуп означавамо са

Н={1,2,3,4..}, или . Скуп природних бројева је бесконачан и пребројив. Када скупу природних бројева додамо нулу добијемо проширени скуп који означавамо са Н₀.

Збир и производ природних бројева је природан број, разлика и количник не морају бити. Кажемо да је природан број м дељив природним бројем н ако је количник м/н природан број, и тада пишемо н|м (чита се: м дели н). Природан број је, на пример:

• паран број {2, 4, 6, ..., 2н, ...} - дељив је са 2;
• непаран број {1, 3, 5, ..., 2н-1, ...} - није дељив са 2;
• прим број {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} - прост број, има бесконачно таквих бројева који су дељиви једино бројем 1 и самим собом;
• савршен број {6, 28, 496, ...?} - Еуклид их је знао четири, ми их знамо двадесетак, бројева н чији збир свих делилаца осим самог н има збир н;
• Мерсенов број {2, 3, 5, ..., 859433, ...?} - прост број облика 2ⁿ − 1, којих данас знамо 46.

Цео број

Цели бројеви, поједностављено говорећи, су сви „округли“ бројеви, тј. без децимала, укључујући нулу, позитивне и негативне бројеве. То су дакле бројеви 0, 1, 2, 3, ..., 100, 101, итд, али и бројеви -1, -2, -3, ..., -100, -101, итд.

Скуп свих целих бројева се у математици означава великим латиничним словом Z, и спада у пребројиве скупове.

Рационални број

У математици, рационалан број (понекад у разговору употребљавамо разломак) је број који се може записати као однос два цела броја а/б, где б није нула.

Сваки рационалан број може бити написан на бесконачан број начина, на пример .

Најједноставнији облик је када бројилац и именилац немају заједничког делитеља (узајамно су прости), а сваки рационалан број различит од нуле има тачно једну једноставну форму са позитивним имениоцем.

Рационални бројеви имају децимални развој са периодичним понављањем група цифара. Овде се рачуна и случај када нема децимала или када се од неког места 0 понавља бесконачно. Ово је истинито за сваку целобројну основу већу од 1. Другим речима, ако је развој исписа неког броја у некој бројној основи периодичан, он је периодичан у свим основама, а број је рационалан.

Реалан број који није рационалан се зове ирационалан.

Скуп свих рационалних бројева, који чине поље, означава се са . Користећи скуповну нотацију се дефинише као

где је скуп целих бројева.

Операције са бројевима